数学小妙招之如何用最少的钱加最多的油
温馨提醒：本文公式较多，跳过公式不影响理解噢~部分长公式需要左右滑动查看完整~
最近几日，一早打开手机，铺天盖地都是有车一族的哀号——
油价，又双叒叕涨啦！！！
油价走势
（图片来源：eastmoney.com）
虽说近年来大家对于油价涨涨跌跌涨涨涨涨涨已经见怪不怪，但这一波涨幅显然已经超出了很多人的心理预期。
就在不少人感叹加不起油的同时，也有不少车主已经开始思考如何才能因势利导，花更少的钱加更多的油。
作为一个只懂得用“WASD”和鼠标操控汽车的人，笔者决定绕开汽车构造、汽油标号等专业的角度，以小学数学为起点，探讨加油的省钱方案。
芜湖，汽油免费啦！
（图片来源：giphy）
加满or加200？两种加油思路
在咨询周围众多老司机之后，笔者了解到加油的时候司机往往会采取两种策略：
“加满”策略：将油箱加满，或者更一般地，单次油量固定策略
“加200块钱”策略：每次加200块钱的油，或者更一般地，单次支出固定策略
为了让表述更为清晰，假设加油时的单价为 , ,⋯, ，则有：
1.单次油量固定
假设每次加油L升，加n次油的总花费为
那么n次下来平均油价为
2.单次支出固定策略
假设每次加油p元，加n次共获得汽油
那么n次下来平均油价为n/(1/p_1 +⋯+1/p_n )， 看到上面两个平均数，诸位是不是有种似曾相识的感觉？没错，以上两种策略的表示正对应着我们熟悉的两种平均数——算术平均数与调和平均数。
集中趋势：平均数的内在逻辑
平均数是统计学中的一个重要的概念，在日常生活中，我们提到的“平均数”实际上指的是算术平均数，即将n个数据相加后除以n，以此代表一组统计对象的一般水平。
除此之外，常见的“平均数”还包括调和平均数、几何平均数、平方平均数、加权平均数、截尾平均数、移动平均数等等。本文介绍算术平均数和调和平均数。已知一组样本共计n个，有
算术平均数（ ）
调和平均数（ ）
1.算术平均数
作为最常见的平均数，算术平均数几乎可以应用在生活的方方面面。这里重点讨论不适合使用算术平均数的情况。在没有考虑个体特点及群体分布的情况下，算术平均数可能会受到极端值的影响而失真。例如，某侦探社薪酬分布状况如下：
（图片来源：douban）
那么依照算术平均数定义，可得平均工资为10000元。
显然，这与大多数社员对自己薪资的认知并不相符。究其原因，社长的薪资水平远远高于一般员工，平均数计算的结果也将远远偏离实际状况。
在此情况下，利用中位数或众数可能会更好地反映实际情况。
极端值会影响算术平均数的代表性
（图片来源：《功夫》）
值得一提的是，平均数、中位数、众数之间有着十分密切的联系。具体而言，在单峰型的概率分布当中，我们记平均数为μ，中位数为m，众数为M，方差为 ，那么有
不过上述关系的证明，按照S. Basu, A. DasGupta的说法是纯粹的技术工作，超出了本文的范畴，感兴趣的同学可以在参考文献[1-3]中找到具体的思路。
2.调和平均数
上面加油的例子已经给出了调和平均数的一个应用场景。
一般来说，调和平均数可以用来计算平均速率。已知标准操场跑道一圈为400米，笔者第一圈运动速度为10m/s，第二圈速度为5m/s，第三圈速度为2m/s（剧情需要，不代表笔者真实情况下的体能状况）。
那么要计算笔者1200米跑步的平均成绩， 显然是不合乎逻辑的。正确的做法是 这也就是调和平均数背后的逻辑。
（图片来源：giphy）
至于“调和”两字的由来，则可以追溯到毕达哥拉斯学派对于琴弦的研究。这里的所谓“调和”（harmonic），其实指的就是“和谐”。
将一根弦的长度减半，弹奏时其震动频率会变成原来的两倍，音高也会升高八度（极完全协和音程）。
如果将其长度减为原来的 ，弹奏时其震动频率是原来的 ，音高则会升高五度（完全协和音程）。
考察弦长1、 、 ，我们可以发现
更进一步地，由于频率与弦长之间存在反比关系，考察频率（即弦长的倒数）1、 、2，我们有
构成等差数列。这一规律适用于更一般的情形。考察任意两个数p,q，及其调和平均数 。不失一般性，令p<q。
我们可以得出
即 构成等差数列。
平均数不等式：如何加油更划算
绕了这么一圈，让我们回到最初的问题，如何加油比较划算。那么这就需要搞清楚算术平均数和调和平均数的大小关系了。
比较经典的思路是中学数学课介绍的数学归纳法。从n=2开始，再利用归纳假设证明不等式，但整个过程不免稍显冗杂。
这里我们提出第一个思路，用一个初等的函数来辅助证明。
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初等函数辅助
我们记算术平均数为 ，调和平均数为 。通过比较 与1的大小关系来确定哪种方案更优。
对于分子部分，我们将它展开，那么
我们知道“对号函数由于这样的小括号有n+n-1+⋯+1个，也就是 个。所以
于是我们就能得出结论，单次固定支出策略更优！
也就是说：
“加200块钱”比“加满”更划算！
如果读者觉得上述方法非常繁琐，那不妨来看看下面这种利用柯西-施瓦茨不等式的证法。
柯西-施瓦茨不等式，又称柯西不等式、柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，被认为是最重要的数学不等式之一，在如线性代数，数学分析，概率论等众多领域都有重要的应用。
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利用柯西-施瓦茨不等式证明
对于一个内积空间中的任意向量u和v，有
这里<⋅,⋅>表示内积。当且仅当u和v线性相关时，等号成立。如果定义向量u的范数
等价地，两边开方，可将不等式改写为
以上是柯西-施瓦茨不等式的标准表述，在欧几里得空间（也就是我们平常的运算规则下），我们可以将其写成
当且仅当
时不等式的等号成立。
利用柯西-施瓦茨不等式，稍作处理，就可以直接得出调和平均数（H）与算术平均数（A）之间的关系——
我们令 ，得
整理后就有 得到
所以说，在不考虑其他因素的情况下，单次支出固定策略的花费小于等于单次油量固定策略，即每次加固定金额的油更省钱。
更多更多的平均数不等式
读到这里，肯定有同学会好奇，算术平均数、调和平均数、几何平均数、平方平均数之间是否也有类似的不等式成立呢？
我很好奇！
（图片来源：bilibili）
答案是肯定的。利用数学归纳法，可以很方便地证明四种平均数之间的大小关系。如果读者朋友们不喜欢长长的推导，也可以使用琴生不等式“秒杀”。
琴生不等式的表述是，对于[a,b]上的下凸函数f，及 ，有下式成立：
当然如果只考虑二维的情况，我们还可以用更为简洁的证明方法，甚至不需要写算式——
图中的Gn和Qn分别代表了几何平均数与平方平均数（也称为均方差）以后有机会也可以专门谈一谈
关于不等式，还有更多有意思的东西。比如穿越欧氏空间、 空间的赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式，量子通信中的贝尔不等式…
值得一提的是，许多中国学者也在不等式上有所贡献。如著名数学家徐利治，就有一个以他的名字命名的不等式。
不等式是数学一个大分支。读者朋友们还有什么想了解的呢？欢迎在评论区留言讨论哦。
参考文献：
[1] D. V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press, Princeton, 1946.
[2] Johnson NL, Rogers CA. The moment problem for unimodal distributions. Annals of Mathematical Statistics, 1951, 22 (3): 433–439.
[3] S. Basu, A. DasGupta, The mean, median, and mode of unimodaldistributions: a characterization, Teor. Veroyatnost. i Primenen.,1996, 41 (2), 336–352.
[4] Huffman, Carl. Archytas of Tarentum: Pythagorean, philosopher and mathematician king. Cambridge University Press. 2005.
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